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摘 要：数学模型方法是数学解题中借用数学模型处理各类问题（包括数学理论和实际应用等方面）的方法.本文从加强中学数学建模的重要性入手，着重阐述了中学数学模型的十三种常用构造方法，并对中学数学建模教学作了初步的探讨.
关键词：数学模型方法 数学建模 构造 模型 思维 能力
中图分类号：
数学家像画家和诗人一样，是模式制造家。
————G.H.哈代
一 开展中学数学建模的重要意义
智力的核心是思维，有思则明，明则通，通则能应变。中学数学教学大纲指出：数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心.数学教学中如何使学生很好的掌握基础知识和基本技能，提高灵活运用知识的能力，关键在于狠抓思维的启发、诱导、训练和发展.
随着当前社会经济迅猛发展，以及面向生活、面向大众的国际教育浪潮的冲击，中学教学开始数学应用的教育和训练，这在全国高考和各地中考试题中都有明显体现.我们的目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识培养贯穿于教学的始终，让学生学得活泼生动，使数学素质教育跃上一个新的台阶.同时也为了适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们提倡开展中学数学建模教学的研究和实践.
无论是数学研究，还是数学学习，其目的之一是将数学运用于社会，服务于社会.而运用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的.美国数学学会主席D.L.伯恩斯在1978年指出：“人们可以从现实世界中的问题出发，直接通过观察或实验，从而获得现实世界的解，但是这样做往往是行不通的，或者由于花费昂贵只好作罢，所以制胜的办法就是通过数学模型，走一条迂回的道路.”
用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及其规律的一种数学方程式.按广义的解释，凡一切数学概念，数学理论体系，各种数学公式，各种方程（代数方程、函数方程、差分方程、微分方程、积分方程）以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型.但按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型，而构造模型的目的是为了解决实际问题，数学模型是建立在模型和原型的数学形式相似的基础上的.
培养学生思维的广阔性、灵活性，善于多方向，多角度地思考问题，并筛选出最好办法，对学生形成积极的思维定势和克服消极的思维定势将产生重要作用.“数学模型方法”（mathematical modelling method 简称MM方法）不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际数学问题的一般数学方法.数学模型方法的学习与掌握、运用与深化，一般是按模型模仿——模型转换——模型构建的主线发展的，而这也符合“具体——抽象——具体”的认识规律.
二 数学模型方法与中学数学
1. 整个中学数学可视为一个数学模型
中学数学内容包括初等代数、初等几何、平面三角、初等微积分、概率统计初步，逻辑与计算机初步等，它们都是数学模型.其中有的模型又包括一些子模型.例如二次方程这个数学模型就是初等代数模型的一个子模型.
2．中学数学的教学就是模型的教学
在数学模型方法指导下的数学教学，要重视对现实原型的分析和抽象，特别是获得数学概念、基本关系、公式、定理，建立起相应的数学模型时，应力求给出（有时需要设计出）一个恰当的典型的原型展现给学生，例如我们在给出公式
(1)
时，可以用下面正方形面积问题（图）作为原型。由图显见正方形ABCD的面积= ，
但另一方面，正方形ABCD的面积 。因此，借助于面积问题这一原型，对公式 (1) 的接受与理解便十分自然.
a
b
a b
三 中学数学模型构造的常见方法
1. 构造函数模型
在实际生活中，有关用料最省、造价最低、利润最大、容积（面积）最大等问题，往往可以通过分析、联想，建立“函数模型”，转化为求函数最值问题.
例1．在测量某物理量的过程中，因仪器与观察的误差，使得n次测量分别得到 这n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值” 是这样一个量，与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从 推出
分析：从复杂的叙述中发现， 与各测量数值之差的平方和与 之间的函数关系，即当此平方和之值最小时的 值即为所求.
解：由题意，令
=
显然， 为 的二次函数，因此，当 时， 取最小值，此时的a值即为所求.
则满足规定的最佳近似值 .
例2．某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1.2万件、1.3万件服装。为了估测今后各月的销售趋势，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟销售量 与月份 之间的关系，模拟函数可以选用二次函数或y= (a、b、c为常数)，已知四月份的实际销售量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，求出此函数.
解：设 则
.
解得
又设 则
，
解得 由于 ，所以用 作为模拟函数较好。这是一个函数模型，对于市场预测问题关键是选准模拟函数.
2 .构造数列模型
在实际生活中，有关产量增长、资金增长、存贷利率、工程用料等问题，可以通过分析题目所提供的有关数据，建立“数列模型”，再借助数列的性质与求和，使问题获得解决.
例3.某种机器，每天要付维修费，若在买回来以后的第 天，应该付的维修费为 元（买回的当天以 计算），又买机器时，花的费用为 万元，问买回来以后的第多少天报废最合算？
解：设买进以后第 天报废最合算，则买进以后的 天内所付的维修费为：
= =
加上购买机器的 万元，设每天的平均损耗为 元，则：
当且仅当 即 时取“=”号.
故知在买回机器后的第1000天报废最合算.
3．构造方程或不等式模型
在实际生活中，有关最佳决策、合理调配、统筹安排最优化问题，一般可以通过对给出的一些数据进行分析、转化，建立“方程或不等式（组）模型”，再求在约束条件下方程或不等式（组）的解集.
例4.某企业出售某种牌号的收音机，每台成本 元，如直接设门市部销售，每台售价 元，销售费用每月 元.如批发给商家销售，出厂价每台 元.问每月销售多少时，需要设立门市部？若要求销售量每月达到 台，试问采用哪种销售方式效益好？
略解 效益好坏的依据是销售利润的大小，为此，设 为两种销售形式下利润相等时的销售量，依题意可得：
解之得： （台）
即当销售量为 台时，这两种销售方式的利润相等。而当 台时，直接销售的利润大于间接销售的利润，这时应设立门市部.
因此，每月销售 台时，采用设立门市部直接销售的效益较好.
例5.某工厂制定明年一种新产品的生产计划，人事部门提出该厂实际生产的工人数不能多于 人，每人年工时为 小时；销售科预测明年的销售量至少是 件；技术科计算每件产品的工时定额为 小时，需钢材 千克；供应科说目前库存钢材 吨，而今年尚需用去 吨，明年能补充 吨。试根据以上信息决定明年可能生产量.
分析：根据题设条件，明年的产量应受人事信息与技术定额、销售预测、原材料供应等因素的制约，各种因素共同决定了明年的生产量，各个条件联合起来便产生一个不等式组模型.
设明年的生产量为 件，则从总工时考虑，共需要 小时完成，而全年工人总工时数为 ，即可建立不等式： 再从钢材数量考虑，共需要 千克，而明年总钢材数量为 千克，即可建立不等式： .从而建立了不等式组
于是得 .
所以明年的计划产量可在60000到72000之间考虑.
4.构造复数模型
例6.皮克在其曾祖遗物中发现一张羊皮上面记载着:“乘船至北纬 度 、西经
度有一荒岛,长一株松 ,从松树面北向左前方 行若干步,有一红石 ,然后左拐 行同样步数,打桩 ;再从松树面北向右前方 行若干步,有一白石 ，然后右拐 行同样步数,打桩 ,在两桩中点处埋藏着宝物.因为记载明确,皮克便乘船前行,在岛找到了红石(A) 及白石(B) ,但由于年代久远,树已无处可寻,只能徒牢而返.你能帮皮克找到宝物吗?(著名的“荒岛探宝”问题)
建模过程:设松树P 依然存在,便可得 位置关系如图,建立以AB 为实轴，AB中垂线为虚轴的复平面,依复数知识藏宝地点可寻.
B y
A A O B x
M
P P(x,y)
数学解答:如图,以直线AB 为实轴,线段AB 的中垂线为虚轴建立复平面.记
, 则 ,
,
∴
则埋藏宝物之地M所对应复数
返回:宝藏应在红石（A） 及白石（B） 连线段中垂线上,向南距离AB 中点（O） 与A，B 同远处.
5.构造解析几何模型
例7.已知 且 都是锐角,求 的值.
解:已知等式可化为 即 从而点 是直线 与圆 的公共点,由 得 ,即 ,又由 为锐角得
.例8. 有一种商品在 两地都有出售,且两地的价格相同,但是某地区居民从两地往回运时,每单位距离从 地运的运费是从 地运的 倍,已知A、B 两地的距离是 千米,顾客购买这种商品时选择从 地买或从 地买的标准是:使包括运费在内的总费用比较便宜,求从 两地购买此种商品运费相等的点轨迹图形,并指出在轨迹图形上,图形内,图形外的居民如何选择从 地或 地购买最合算.
分析:这道应用题,可以通过建立直角坐标系,从而建立”解几模型”,使问题得以解决.
P 一y
O B x
如图:取 的中点为原点 ,直线 为 轴,建立直角坐标系,则有 , ,设 是区域分界线上任一点,从 地往 处运货的单位距离的运费为 ,则依题意有方程:
即
于是
故从 两地购买此货运费相等的点的轨迹是以 为圆心,以 为半径的圆,圆上的居民从 两地购买此货的总费用相同,圆内的居民从 地购买合算;圆外的居民从 地购买合算.
6.构造立体几何模型
例9．若锐角 ， ， 满足 ，求 的最小值。
分析：锐角 ， ， 满足 形式满足长方体的三度平方和等于对角线的平方，故可构造长方体，使三棱长分别为 ,对角线为1，对角线与三条棱所成的角分别为 ， ， ，则 故 的最小值是 .
说明：由于长方体一条对角线和它过同一顶点的三条棱所成角的余弦值的平方和等于1，为此可构造一个长方体 ，如图所示使
D A
C B
D A
7.构造排列组合模型
例10. 方程 的非负整数解的组数是多少？
分析：设 则 原题即转换为 有多少正整数解。可由抽象到具体建立如下模型：将12个小球排成一列，在它们两之间形成的缝隙中任意插入3块木板，则把这12个球分成4组，而这4组的数目即为 即原方程的非负整数解是： （组）.
例11. 将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少1个名额，问名额分配方法有多少种？
解：将问题转化成 把排成一行的12个0分成7份的方法数，这样用6板插在11个间隔中，共有 种不同方法，所以名额分配方法总数是 种.
8．构造对称对偶模型
例12. 的值。
分析：初看到此题，我们自然会往往会通过降次、和差化积来解决，但我们注意到 且问题关于 是对称的，所以可通过构造二元对称代换来解决.若注意到 也可以利用对偶模型来处理.
解法1：令 则
原式
解法2：令
B=
则A+B=
,
由（1），（2），消去B得A= .
9．构造平面几何模型
例13．求 的值（1993年俄罗斯竞赛题）
分析：我们拿到这题会感觉此题虽形式简单，但一时也无法下手。这时，如能注意到三角形中的边角关系，可构造如图所示的三角形 ，使
为 上一点，且使
B
则 且 A D C
在 中，由正弦定理，得
又
说明：通过构造几何模型，把三角函数的值转化为线段的长度，通过解三角形巧妙地求得三角函数的值.
10．构造三角模型
例14.已知函数 求函数的最值.
分析: 我们拿到此题最大的困惑是去根号,这看起来很难. 这时我们注意观察 和 的关系,可发现 ,则可令
这样
而
函数的最大值为 ,最小值为 .
说明:上面是通过构造三角模型,利用三角函数的性质,巧妙地摆脱了根号的困惑,使问题得到了解决.
11.构造图形图表模型
例 15. (传销危害性的数学问题)“今日说法”栏目报道,某公司利用传销手段诈骗投资人,谎称“每位投资者投资一股460元,买一件商品(价值10元),半年后,可得到540元的回报.每一期到期限后若继续投资,投资股数是上一期的2倍”.某退休工人开始投资1股,以后不断地追加投资,但在投资到32股时,被告知该公司破产.
1) 假如该退休工人在前一期停止投资,他的投资回报率是多少?
2) 事实上,传销最终要失败,试估算该退休工人损失金额?
(回报率=[回报金额-投资额] 投资额)
分析:投资一股460元,扣除商品价值,实际投资450元,半年后得到540元的回报,其一股的回报率达到 ,由于每一期投资股数是上一期的二倍,则第二期投资时,要追加 元,到第二期末,其投资的回报率为 ,列表如下:
n期末 投资额累计 追加额 回报率
1 450 (540-450) 450=20%
2 450+360=810 450 2-540=360 (540 2-810) 810=33.3%
3 810+720=1530 450 4-540 2=720 (540 4-1530) 1530=41.2%
4 1530+1440=2970 450 8-540 4=1440 (540 8-2970) 2970=45.5%
5 2970+2880=5850 450 16-540 8=2880 (540 16-5850) 5850=47.7%
6 5850+5760=11610 450 32-540 16=5760 (540 32-11610) 11610=48.8%
1) 由上表可知,当退休工人投资16股时,若能如期兑现,其投资回报率可达到 ,这说明该公司投资形式有很大的回报率,因而具有很大的风险和欺骗性.
2) 由上表可知,该退休工人实际投资额达到11610元,因而他损失了11610元,这说明任何投资,回报率越高其风险就越大,因而要特别警惕.
例16. 广州---天津,一班船需航行六昼夜,每天同时在两地对开一班船,每班船航行途中遇到几艘广州---天津的船.
分析:此题的关系式较难列出,但若是借助图形则很容易得出结果.
考虑广州开出的一班船途中相遇的船只,如下图:
广州0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
B 天津
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
由图示可知,共相遇13班船.
例如: 点表示此船与天津两天前开出的船相遇; 点表示此船与天津三天后开出的船相遇.
12．构造线性规划模型
例17．下表给出甲，乙，丙三种食物的维生素A，B的含量及成本：
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 400 600 400
维生素B（单位/千克） 800 200 400
成 本（元/千克） 6 5 4
某食物营养研究所欲将三种食物混合成100千克的混合物，设所用甲，乙，丙的份量依次为x,y,z..
(1) 试以x,y表示z；（2）试以x,y表示混合物成本；（3）若混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B.证明： （4）确定x,y,z的值，使成本最少.
分析：（1） （2）混合物成本 把 代入得 有 当且仅当 时上式取等号。
当 时，成本最小.
13 .构造物理模型
例18. 如图,一辆小车在轨道AB上行驶速度 在轨道以外的平地上行驶的速度 在离轨道垂直距离为PM=30 处有一仓库P,有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间?
分析:逆向思维,将运动方向倒过来,则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省.联系物理中的光学模型.光总是选择用时最短的路径传播.所以本题可以转化为光的全反射的临界状态,作如图的光传播图,由光的折射定律得:
这样问题迎刃而解.在 中,PM=30km P
因此，费时 M x O A
例19. 求值：
分析：物理学告诉我们：对于均匀分布的凸 边形，若其n个顶点坐标是 则其重心
我们注意到点
刚好把单位圆周五等分；顺次边接各分点，得正五
边形（如图）。设重心
又因单位圆的内接正多边形的重心在原点 及 所以
即
四 中学数学建模思路设想
1. 加强数学基本能力训练
学生建模能力的形成是基础知识、基本技能、基本数学方法培养的一种综合效果，
日常教学的基础知识学习对形成建模能力起着奠基作用.然而反过来，只学习应用题建模，忽视系统的理论学习，最终的效果只能是应用题解题教学，并不利于学生数学素质的全面提高.因此在中学普及建模知识，一定要在系统知识学习的基础上进行.
2. 学习传统基本模型，触类旁通
七桥问题与中国邮路问题，单色三角形模型，抛物模型，细菌繁殖模型等都有重要的数学教育价值，特别是依据这些模型为背景简化编拟数学竞赛题的讲解，是学习传统基本模型的很好形式.
3． 结合教学内容，构造实际模型
许多抽象的数学量，数学思想可以在现实中找到它们的原型，具有相反意义的量可以作为正、负数的模型，探照灯、手电筒的光束可以作为射线的原型；直的铁轨、麦垅可以看作平行线的原型等等.只要我们充分挖掘教学内容与实际应用之间的联系，构造数学问题的实际模型，才能进一步提高学生的数学建模能力.
例 已知 并且 求证： (代数下册)
构造实际模型：将a千克的糖加水配成b千克的糖水，其浓度为 ,若在此糖再加入m千克的糖，其浓度为 ，显然加糖后浓度增大，即原不等式成立.
4. 联系实际生活，引导学生建立一些简单的数学模型
日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资金、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题等，都可利用数学基础知识，建立初等数学模型，加以解决.
我们的国家大事、社会热点、市场经济涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投标及股份制等，是中学数学建模的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相应类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济意识，而且还为日后主动以数学的观念、方法、手段处理问题提供了能力上的准备.
5. 从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具的能力。
中学所涉及的数学模型主要包括了函数、方程、不等式、三角、二次曲线、多面体、旋转体、集合、排列组合等概念.中学数学建模的内容相当丰富，有利息、增长率、环境保护、规划、经济图表、市场预测、供求与存贮等问题，以及物理、化学、生物、医学、人口、生命科学等学科方面的问题。我们可以从这些学科应用题中选取合适的例子，通过分析、联想、转化、抽象、构建模型，使问题数学化.
五 中学数学建模的前景与展望
数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域.90年代初，我国教育界提出了“素质教育”的号召，素质教育要求数学坚持理论实际，教会学生把数学知识运用到实际当中去，分析、解决力所能及的实际问题.建模能力是解题者对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用.
中学数学建模具有广阔的美好的发展前景，我们的建模教学不应拘泥于形式，受缚于教条。我们应密切关注现实生活，密切结合课本，改变原题，将知识重新分解组合、综合拓广，使之成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的问题，这对培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、广阔性、创造性是大有益处的.
本文在写作过程中，得到了我的指导老师屠德清先生的精心指导，在此谨表谢意！
参考文献：
[1] 徐利治. 数学方法论选讲 [M]. 华中工学院出版社,1983
[2] 张楚廷. 数学方法论 [M]. 湖南科学技术出版社,1989
[3] 候敏义. 数学思维与数学方法论 [M]. 东北师范大学出版社,1987
[4] 刘兆明. 中学数学方法论[M]. 湖北教育出版社,1987
[5] 毛永聪. 中学数学创新教法 [M]. 学苑出版社, 1999
[6] 周春荔. 数学竞赛与数学建模 [J]. 数学通报 ,1996 (6)
[7] 孙罗超. 建立数学模型解应用题[J]. 数学通报,1996（12）
[8] 单文海. 中学数学建模举例 [J]. 数学通报,1997（2）
[9] 王迎东. 从常见应用性问题看数学建模[J]. 数学通讯,1997（3）
[10] 章晓航. 借助图形表建模解数学题[J]. 数学通讯,2000（5）
[11] 冯永明. 中学数学建模的教学构思实践 [J]. 数学通讯,2000（13）
[12] 应向明. 构造数学模型解题 [J]. 数学通讯,2002（5）
[13] 孙串绒. 用构造模型法解三角题 [J]. 中学数学教学参考,2000（4）
Initial Exploration of The Mathematical Modelling Method of The Middle-School Stage
LIU Xi-lin
(Department of mathematics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432100，China)
Abstract:Mathematical modeling method refers to the methods employed to deal with various kinds of questions by means of mathematical models,in which theoretical and practical questions are included, in the process of solving maths problems.This article emphasizes thirteen frequently-uesd constructing methods for the mathematical model of the middle school stage beginning with enhancing the importance of these methods,and at the same time makes an initial exploration into the teaching of the mathematical modeling of the middle school stage.
Key words :mathematical modeling method;mathematical modeling ;construction;model;
thinking;ability
