利用配方法 求函数最值
陆丰市林启恩纪念中学       饶俊博
         [摘要]利用配方法求二次函数y=ax +bx+c的最值，实质上是配成y=a(x+ ) + ,则当 |x+ |最大（小）时，(x+ ) 最大（小）；结合a>0(<0)可求出y的最大（小）值。对于可化为二次函数的函数，可结合换元法仿上述方法解决。
        [关键词]配方法、最大（小）值。

        配方法是把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方的一种恒等变形方法。对于二   次函数或可化为二次函数的函数，其最值问题可应用配方法解决。
       一 求二次函数y=ax +bx+c的最值
      二次函数y=ax +bx+c配成y=a(x+ ) + ，因|x+ |表示数 轴上点（x)到点(-  )间距离，而|x+ |与(x+ ) 同时取得最大（小）值，再结合a>0(<0)可求出y的最大（小）值。
      例1  已知f(x)=x -2x+2在x∈[t, t+1]上的最小值为g(t), 求g(t)的表达式。
      分析：f(x)=（x- 1) +1,|x- 1|表示数 轴上点（x)到点(1)间距离，(x- 1) 与|x- 1|同时取得最小值。
      解：f(x)=（x- 1) +1
             （1）当1∈[t, t+1]  即0≤t ≤1 时，|x- 1|≥|1- 1|=0,则g(t)=f(1)=1
               (2)当1     [t ,t+1]时
             t＞1时  x∈[t, t+1]  则|x-1| ≥|t -1| ，所以g(t)=f(t)=t -2t+2
            1＞t+1时即t＜0时，x∈[t, t+1]，则|x-1|≥| (t+1) -1| ,所以g(t)=f(t+1)=t +1
                综合（1）（2）得 g(t)= 
      例2  函数f(x)=－x +2tx,  x∈[4,6]，f(x)的最小值为g(t),最大值为G(t),求g(t) 及G(t)的表达式。
    分析：f(x)=－（x-t) +t ,   当（x-t) 最大时，f(x)最小，当（x-t) 最小时，f(x)最大。而（x-t) 与
|x- t| 同时取得最大（小）值。
      解：由f(x)=－（x-t) +t ,  x∈[4,6]。
         t∈[4,6]时，即4≤ t  ≤6时，则|x- t|≥|t- t|=0  ∴f(x)≤t    则G(t)=t  
               (1) 当4≤t≤    即4≤t≤5时，|x- t|≤|6- t|
          ∴f(x)≥f(6)即g(t)=f(6)=36- 12t
               (2)当 ＜t≤6即5＜t≤6时，则|x- t|≤|4- t|
                  ∴f(x)≥f(4)即g(t)=f(4)=16- 8t
             <2>  当t＜4时,而x∈[4,6] 则|4- t| ≤|x- t|≤|6- t|
          ∴f(6)≤f(x)≤f(4) 即g(t)=f(6)=36- 12t,  G(t)=f(4)=16- 8t 
              
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          <3>当t＞6时，而x∈[4,6] 则|6- t|≤|x- t|≤|4- t|
                 ∴f(4)≤f(x)≤f(6)   即g(t)=f(4)=16- 8t,  G(t)=f(6)=36- 12t.
            综合得  G(t)= 
          g(t)= 
           从例1、例2可以看出求二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的最值可采用配方法,y=a(x+ ) + ，
(x+ ) 与|x+ |同时取得最大（小）值。|x+ |表示数轴上点（x)到点 （－  )间的距离，则|x+ |
何时取得最大（小）值利用x的取值区间与－  在数轴上的位置关系容易解决；再结合a＞0,a＜0
即得y的最大（小）值。
         例3  设a为实数，函数f(x)=x +|x－a|+1,x∈R。
                （1）讨论f(x)的奇偶性；
                （2）求f(x)的最小值。（2002全国高考理科试题）
          分析  （1）略
         （2）去绝对值则可化为求二次函数的 最值，考虑用配方法。
        解（2）
             当x≥a时，f(x)=x  +x- a+1=(x+ ) + -a
                ①a＞-  时，因x∈[a, +∞)
         则|x - (- )|≥|a-(- )|    ∴[f(x)] =f(a)=a +1
               ②a≤- 时，因x∈[a, +∞)
          则|x - (-  )|≥|-  - (-  )|=0  ∴[f(x)] =f(-  )=    - a
             当x≤a时，f(x)= x  - x+a+1= (x-  ) +     +a
         ①a≥    时，因x∈（- ∞,a]
          则|x -  |≥|    -    |=0    ∴[f(x)] =f(  )=  + a
         ②a＜    时，因x∈（- ∞,a]
          则 |x -  |≥|  a  -    |     ∴[f(x)] =f(a)=a +1