新世纪学生要经历解决问题的全过程
                                                                                                      绍兴县平水镇王化分校     宋伟强
        现在，随着将数学教育置于促进学生整体发展背景之下的新理念的逐渐形成，数学教育正在步入从关注知识向关注学生的转变，课堂教学的模式也由给出知识转向了引起活动，并且使传统教育向开放式教育过渡。它在改变着数学教育观---儿童掌握数学事实，学会规范的解题方法已是次要，重要的是让学生学会学习。学会探索；儿童在数学教学中获得自信、科学的态度，理性的精神比单纯的数学知识根据价值。
        反思我们传统的数学教学，过分强调让学生接受建立在记忆层次上的数学事实及形成数学技能，而学生所掌握的只不过是"是什么"而已。即使教学中重视了让学生懂得"为什么是这样" ，其最终目的也往往是为了让学生确信这一数学事实，数学教学不就成了培养"演算技师"的学科吗？
但，人们在社会生活中所碰到的问题很少会有齐全的数据和完备的条件让你可以套用一个现存的数学模型的情形。对于数据的收集、取舍、模型化，以及对结果的分析、处理等等都是至关重要的。所以，让儿童在一定程度上经历人类对数学的认识过程，即真正经历数学问题解决的全过程，而不仅仅是"烧中段"，不仅符合儿童的学习心理，更是真正让学生学习"数学化"的有效措施。
这里涉及的数学问题解决的全过程，通常包括：以实际背景提出问题      建立数学模型      探索解决问题的思路             问题求解     过程的反思以及对结果的评价      解法的应用与推延。
       1、从实际背景提出问题。这里的"问题"指即可以是来自现实生活化的，也可以是来自数学这个系统内部的。但是大量的数学问题都可以在生活中找到原型，因而，"生活化"应该是首选。譬如，教学比例的应用，可在有阳光的日子带学生到操场上（或出示模拟图象），要求测量旗杆的高度；教学按比例分配，可提出一个教室的人数，总人数大于每排人数及如何分摊的问题；教学小数加减法，可以出示平常学生接触的东西如价格（学习用品），让学生自己提出数学问题等等。也有些问题须从数学知识体系建立的需要而提出。例如，用分解质因数的方法（用短除法）求两个数的最小公倍数，是在用原有的"定义方法"去解决困难的前提下提出的。
讲究数学问题提出的涉设计，不仅为了创设学习情景，也不全为使学生体会数学"有用" ，更为真正学数学有个良好的开端。
        2、建立模型。数学模型的建立，实质上是寻求何种数学方式去解决问题策略的过程。根据采用的数学模型不同，解决问题就有难异，优劣之分。
如第一点中所述，全班人数的分摊方式，可采用平均分的模型---按排平均分摊，测量旗杆高度的模型可以是直接度量---爬上去或利用升旗的拉绳直接度量；更方便的模型是正比例---根据米尺的影长和旗杆影长与实际长度成正比例计算。求两个数的最小公倍数可以采用逐一试除法，或大数翻倍法，更普遍适用，方便的方法是用复合短除法等等。
这个过程是儿童运用观察、尝试、猜测、试验和探索的过程。 这是儿童经历"数学化"的关键一步。
        3、探求思路。模型建立之后，就给解决问题定了方向，而采用何种解决步骤；有个解决方法的优化问题。传统教学教师过多的扮演"总是正确的指导者"和"最佳思路的演示者" ，大部分学生无法体会到"美妙的解法"和探寻的乐趣，因此学生往往有强烈的惰性、依赖感。有人说，如果有一位教师在学生心目中是万能的解题高手，任何难题经他之手，必是迅捷的得出最佳的解题思路，那么，这位老师一般不会是好老师。此话不无道理。好教师应该是学生思路的引导者，更是思路探求的参与、合作者。
如如全班分书，采用按比例分配方式，具体可以有多种分摊方法：①算出总数在按排分摊。②将多余书按小组分。③将多余书按大组分等等。所有分摊方式都让学生探索、交流、汇报和比较。
总之，教师不应该将自己的想法强压给学生，而应树立"学生的思路是最好的思路"的观念。至少在介绍"最佳思路"时，应展示探索、碰壁、进入合理思路、直接获解的思维过程和技巧。
        4、问题求解。当解题思路已经形成应放手让学生演算，去得出结论。这既是让学生体验"收获" ，也是证实上述思路分析正确与否和培养演算技巧得重要步骤。当然，以解题为特征的传统数学教学，过分强调这一步，虽也积累了许多成功的经验，但这毕竟不是儿童学习数学最重要的步骤，因而被弗洛登塔尔斥之为"烧中段" 。
        5、过程反思。学生解决数学问题往往满足于得出结论。而对结论是否符合问题的实际背景，数据正确与否等等，缺乏进一步思考的耐心。反思的过程既是验证结论的过程，也是寻求更佳解法的过程，更是培养学生良好的数学学习习惯的过程。它对于学生养成解决各类问题的良好习惯具有积极意义。
反思解题的过程，除了具有检验作用外，更重要的是反思解决问题过程的合理性。具体包括：该教学问题是在什么背景下提出的，为解决这个问题我们采取了何种对策，寻找到哪几种解题思路，最终是用什么方法解决的，依据是什么，解决过程是否合理，结果是否正确，能否找到更好的解决方法等等。
        6、应用与推延。无论是知识学习的目的还是技能形成的角度，让学生在不同情景下应用是数学的重要策略。应用，不能没有模仿水平的题型，然而，拓展与推延对于培养学生的问题解决能力更有价值。推延即可以是应用情景下推延，也包括解题策略，思路探求方式和求解方式的推延。这些题材同样应具有探索性，为学生提供开放的、自主练习的机会。
像，在学习"平均数"概念后，向学生提供下列素材：本村人均寿命为80岁，人均年收入为9000元，是什么意思？这地区的人都能活到80岁吗？今年的收入会是9000元吗？
再如，在学习"相遇问题"后，根据所建立的问题模型：两人的速度和×时间=共同行走的路程。可推延到从两端修公路或凿山洞问题，推延到两物相背相离问题，推延到共同工作问题等等。这样，既培养学生能举一反三，也伏化学生的认识结构。
综上所述，"掐头去尾烧中段"式的教学是将数学看成纯计算与抽象的逻辑推理，它使数学远离儿童实际和社会现实，其结果是使数学学成了空洞的解题训练，以至学生学数学除了做题就不知道还要做什么。它极大地阻碍了学生创新精神和实践能力的发展。
我国古代的数学大都是以实际问题为中心的开放体系，非常重视从现实生活实际需要出发去建立数学模型，也重视应用。在新的世纪，让我们继承和发扬祖国优秀的数学文化遗产，让学生在数学学习中经历问题解决的全过程，把数学素质教育落到实处。