以最基本的概念为核心组建知识结构
    数学知识本身有着严密的逻辑性，我们应遵循这一特点，使小学数学知识形成一个联系紧密的、纵横交错 的知识网络。在这网络中，我们要弄清哪些知识在网络中起决定作用，哪些知识是从属关系的。
    为了使这一知识网络纲目清楚、主次分明，我认真研究了哪些知识是在网络中起决定作用的，以及怎样紧 紧抓住这些最基本的知识形成知识的整体结构，经过多年的研究和实践，我构制了“小学数学知识网络图”。
    小学数学知识网络图（一）
    （附图 {图}）
    小学数学知识网络图中由十几个最基本的概念为知识的核心，把小学中的主要数学知识联系了起来。“和 ”这个概念则是知识的核心的核心。在学生学习“１０以内数的认识”时就开始以渗透的手段逐步建立“和” 的概念，通过渗透“和”的概念学习“１０以内数的认识”，“加、减计算”，“理解加减关系”，“加减求 未知数”，“简单应用题的结构”，“弄清求和、求剩余应用题结构”。当出现两个或两个以上加数都一样的 时候（５＋４→５＋５→５＋５＋５）开始认识“相同加数”、“相同加数的个数”，过渡到学习“乘法意义 ”。以此为概念的核心理解乘法口诀及其意义，学习有关乘、除法应用题及计算。
    从“和”的概念中还可以引出两个不等的数量相比较而出现的“同样多”、“差”的概念，较大数是由和 较小数同样多的数还有比较小数多的数合并起来的。“较小数”、“差”是相当于较大数里的一部分。同时理 解有关“差”的应用题的数量关系。
    若“差”出现了和较小数同样多，则引出“倍”这一核心概念。较大数里面有若干和较小数同样多的数， 较小数为一倍，较大数是较小数的若干倍。又以“倍”为核心理解“倍”的应用题的数量关系。
    反之，以较大数为一倍数，较小数是较大数若干份中的几份，较小数是较大数的几分之几。这样以“份” 、“分数意义”为核心学习“分数应用题、计算”、“百分数、比的应用题”、“比例应用题”。
    这样就以“和”的概念为核心的核心把小学数学的大部分知识连成有机的网络。
    同样在学习“１０以内数的认识”时开始渗透“数位”、“计数单位”、“进率”。如，知道１０中的１ 表示１个十，０表示个位上没有，以此为核心学习“２０以内数的认识”、“百以内数的认识”、“多位数的 认识”，同时以“数位”、“计数单位”、“进率”为核心学习有关的计算。
    通过对“十进关系”的理解自然推演到“小数”。
    这样，以“和”的概念为核心的核心，以十几个最基本的概念为主线组成了小学数学知识网络图。
    在整个知识网络中，蕴含着小学阶段５４０多个大小概念，它分布在小学五、六年的十几本教材之中。若 无论大小概念都给予加强，必然使小学数学知识内容过于“丰厚”，这５４０多个概念，分布在各年级，每年 至少讲１００多个概念，这样必然造成师生每年都处于紧张的完成任务之中。
    知识是思维的产物、智慧的结晶。没有思维就谈不上知识，这是我们学习知识与发展智力的依据。
    数学知识本身蕴含着思维方法，我们在研究数学知识时，绝不能只停留在知识的本身，而是要揭示知识所 蕴含的思维方法，以一定的思维方法为指导，构建知识，这样的知识是活的，有力量的。
    为此，我从５４０多个概念中抓住十几个最基本、起决定作用的概念作为知识网络中的主概念，把它放在 中心位置，以此来将其他概念统帅起来。从而确立了知识网络中的概念的从属关系。
    例：小学数学中的应用题。
    我以应用题中的最基本的概念为基础，抓数学问题的结构为主要内容，抓数学系统训练为重要手段，形成 该知识的网络。
    简单应用题，一般分为１１种。我以最基本的概念为核心，把１１种分成四块。最基本的概念是“和”、 “乘法意义”、“同样多、差”、“倍”。通过建立这几个概念，让学生弄清有关应用题的数量关系。再以此 为基础，教数学问题的结构，配之相应的训练内容，如“补充条件”、“补充问题”、“改变叙述方法”、“ 画线段图”、“看线段图编题”……（附下图）。
    （附图 {图}）
    又如：“计算”这部分知识，有整数、小数、分数。整数里有１０以内－－２０以内－－１００以内－－ 万以内－－多位数的计算。
    分数有同分母分数加减－－异分母分数加减。
    还有整数、小数、分数、四则运算，各部分知识都有算理、法则，我从中抓住其共同的、起决定作用的、 最原始的，也就是最基本的概念形成知识网络。（如前面数学知识网络图）。在这当中，“数位”、“计数单 位”、“进率”是核心概念，以此把小学低、中、高年级计算知识统帅起来。
    数学中最基本的概念，具有其本质性、概括性和指示性的意义，是学生学习知识的导航器，是思维活动的 金钥匙。若能使知识形成科学的有机整体，就要抓住各个概念和各条原理之间内在联系的逻辑性、系统性和连 贯性，同时使知识网络本身反映出知识自身的传授、能力培养的“序”，使前后内容相互蕴含、自然推演，在 思维上为学生提供一个由已知到未知的逻辑思路和迁移条件，形成具有生命力的、使知识处于运动中的、蕴含 着较高的思维价值的知识网络。
    所以，在我的眼里，这幅小学数学知识网络图是一幅立体的、有主有从的、活动的、延伸的、丰富多彩的 美丽图画。
    组建学生较好的认知结构
    怎样将较好的知识结构转变成学生头脑中的认知结构，是我们在教学中研究的中心问题。
    由于较好的知识结构是以一定的思维方法为指导构建起来的，故其本身蕴含着思维方法。在客观上，结构 中的每一部分知识具有较好逻辑关系和迁移条件。而且知识结构中的纲目是清楚的，主次是分明的，关系是紧 密的，是我们组建学生认知结构的依据，也为我们形成新的教学方法，打开了思维的大门。
    知识结构本身决定了我们不可能将零散的、孤立的知识教给学生，也不可能学一例题，就在一例题的范围 内进行练习。这就势必要打破旧的模式，在加强知识的内在联系上下功夫，抓住知识间的关系来钻研教材，研 究每一知识与整体知识结构的关系及相互作用，研究已有知识怎样成为后续知识的基础，从中悟出科学的方法 。
    这样决定了我们的教学着眼点绝非是单纯传授知识，而应把方法教学寓于学习知识之中，在研究基本概念 、基本原理、基础知识中，研究学习知识的基本方法，这样，学生在学习知识的同时，自然地学到了学习知识 的基本方法，提高了学习数学的能力。这是组建学生认知结构的意义所在。
    在组建学生认知结构的全过程中，始终渗透着让学生掌握数学结构的能力，提高学生逻辑推理能力、概括 能力……，所以说怎样使学生能有较好的认知结构，是我们教学工作的核心。
    使学生形成较好的认知结构，就要研究数学知识的发生过程、概念的形成过程、结论的推导过程、问题的 发现过程、规律的揭示过程、方法的思考过程、揭示知识间内在联系的过程。
    在这当中，我大体是从下面几方面进行的：抓应用题的问题结构；抓概念组建认知结构；抓联系组建认知 结构。
    一、抓应用题的问题结构。
    在应用题教学中，我首先让学生掌握应用题的结构。如简单应用题是基础，我以认识两个有关的条件和与 条件有直接关系的问题来揭示简单应用题的结构特征（具体做法略）。两步应用题是教学的关键，我专门上了 两步应用题结构认识课，进行两步应用题的结构训练。从而使学生从结构上沟通了简单应用题与复合应用题的 联系，具备了解答两步应用题的分析能力（具体做法略）。
    在两步应用题的基础上，我上了多步应用题的思维发散课和多步应用题思维训练课。
    下面是我今年给四年级学生上课的教学实例。这个班是普通班，教学内容是应用题的学习。这是整数知识 的综合运用，也可以说是小学阶段整数应用题的最高阶段。我对教材的三个例题通盘考虑后，确定以例１为原 始题。
    例１．生产小组要加工７８０个零件，计划用１３天完成，实际每天比原计划多做１８个。实际用了多少 天？
    我对这个例题教学的通盘思想是：通过对这题解答后的验算，引导学生自编应用题，从而使学生对一般多 步应用题的数量关系更加清楚，结构特点也理解得更为深刻。教学的着眼点从单纯教例题过渡到教问题结构上 来，从而培养学生学习能力和解答应用题的灵活性能力。
    （第一层）
    解：７８０÷（７８０÷１３＋１８）
    ＝７８０÷（６０＋１８）
    ＝７８０÷７８
    ＝１０（天）
    答：（略）
    验算：
    把解题结果当作已知数量，把题目中任意一个已知条件作为问题，按题目中的数量关系进行计算，看一看 是否与题目中给的已知条件一致。
    （１）７８０个／计划每天做７８０÷１３＝６０（个） １３天完成
    ｜实际每天做７８０÷１０＝７８（个） １０天完成
    ＼实际每天比计划多做多少个？７８－６０＝１８（个）
    （２）看验算过程中数量关系编题
    ７８０个 ／计划 ？天完成
    ｜计划每天比实际少加工１８个
    ＼实际 １０天完成
    （３）？个｛计划 １３天完成
    实际每天比计划多加工１８个 １０天完成
    （第二层）
    改：将验算（１）中的“计划每天做的零件个数”作为已知条件，“多做的零件个数”为问题，作为例２ ：
    计划每天加工６０个－－１３天完成
    实际每天比计划多加工？个－－１０天完成
    ６０×１３÷１０－６０
    ＝７８０÷１０－６０
    ＝７８－６０
    ＝１８（个）
    答：（略）
    验算：
    （１）计划每天加工６０个－－１３天完成
    实际每天比计划多１８个－－？天完成
    （２）计划每天加工６０个－－？天完成
    实际每天比计划多１８个－－１０天完成
    （３）计划每天加工？个－－１３天完成
    实际每天比计划多加工１８个－－１０天完成
    １８×１０÷（１３－１０）＝６０（个）
    （１）实际每天？个
    （第三层）
    从例１、例２中找出已知条件
    １．计划１３天完成
    ２．计划每天６０个
    ３．实际１０天完成
    ４．实际每天加工７８个
    ５．一共加工７８０个
    ６．实际每天比计划多１８个
    或计划每天比实际少１８个
    ７．实际比计划少用３天
    或计划比实际多用３天
    根据上面条件问题编出三步以上应用题。
    １．实际每天比计划多１８个 ？天 ７８×１０÷（７８－１８）
    实际每天加工７８个 １０天＝１３（天）
    ２．计划每天加工？个 比计划少３天 ７８×１０÷（１０＋３）
    实际每天加工７８个 实际１０天完成＝６０（个）
    ３．计划每天加工？个 １３天完成 ７８×（１３－３）÷１３
    实际每天加工７８个 比计划少３天＝６０（个）
    ４．计划每天比实际少１８个 １３天完成 （７８－１８）×１３÷７８
    实际每天加工７８个 ？ 天完成 ＝１０（天）
    ５．计划每天加工６０个 ？ 比实际多３天 （６０×３）÷（７８－６０）
    实际每天加工７８个？ 天完成 ＝１０（天）
    ６．计划每天加工６０个 １３天完成 ６０×１３÷（１３－３）
    实际每天加工？个 比计划少３天 ＝７８（个）
    ７．计划每天加工６０个 比实际多３天 ６０×（１０＋３）÷１０
    实际每天加工？个 １０天完成 ＝７８（个）
    ……
    就这样，这节多步应用题教学在原来三个例题的基础上，从例１的认识及验算入手，学生改编出７０多道 应用题，大致涵盖了多步应用题的知识。这样做，深化了原有知识，使学生在掌握应用题的问题结构过程中提 高了解复合应用题的能力。
    二、以最基本的概念为核心，组建学生的认知结构。
    数学知识本身的内在联系是紧密的，是一个结构严密的整体。因此，我在教学中注意了从知识整体结构的 高度来研究每一局部知识的地位和作用，挖掘它们中间的有利于学生智力发展与逻辑思维能力培养的因素。我 们知道，数学概念反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性，没有概念，也就无法构成数学知识体系。 因此我们应特别注意以最基本的、起决定作用的概念为核心，在建立、运用、综合运用和深化这些概念的过程 中，来教给学生知识结构。教学实践证实了学生在教学中这样学到的知识，便于理解记忆和再学习。例如：“ 份”的概念是乘除知识、倍的知识、分数知识、比和比例知识及解答一些较复杂的分数应用题的基础。从二年 级乘法意义的认识开始建立“份”的概念（过程略），在学习后续有关知识时，都是把“份”放在核心地位， 不断理解、运用、深化、综合运用。从而在对“份”的认识的发展中，一直学到小学数学知识的最高阶段。整 个过程中，“份”起到决定的作用（过程略）。
    数学家华罗庚说：善于退，退到最原始的而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。由此看出科学家 把数学最基本的概念放在多么重要的位置上。
    可以说，在教学有关乘除知识中，我总是把它回到对最原始的“份”概念的理解上来。这样做，不仅学生 学起来容易，而且学得主动。不仅学习有关的新知识时用它，而且解决有关的难题也用到它。
    例．修一条２０００米的路，计划１２天完成。实际每天修的是计划的１．５倍，实际用多少天修完？
    一般思路要用三步解答出来。然而从“份”的角度分析，只要一步。
    １２天完成，则平均每天完成１２份里的１份，实际每天完成１．５份。所以１２份里包含几个１．５份 实际就用了几天。
    １２÷１．５＝８（天）
    答：（略）
    又例，用“份”来解工程问题。
    修一条路，甲独修１２天完成，乙独修１５天完成。甲修３天后，甲乙合修，还要几天完成？
    从“份”入手分析：
    若按甲独修１２天修完，则这条路共１２份，乙每天修（１２／１５）＝４／５份。甲干了３天，还余１ ２－３＝９（份）。所以从甲乙二人合修９÷（１＋４／５）＝５（天）（或从乙单独做１５天完成入手）。
    同样，用“份”来解答较难的分数应用题、比和比例应用题（例略），不仅可拓宽学生的思路，而且可使 学生思维灵活、敏捷、简捷。
    这样以最基本的概念为核心组建学生的认知结构，便于学生学习的迁移、运用、记忆，而且使学生学得积 极主动。由于学生对最基本的概念有不断理解，反复认识和运用的机会，即使前面知识由于各种原因学得不扎 实，在学习后面有关知识时也会有时机弥补，便于不同层次的学生学习掌握，使较差学生不至掉队。
    由于学生对最基本的概念在学习过程中有“悟”的过程，也可以说是有不断消化吸收的过程，因此就使学 生学习时感到“难的不难”、“旧的不旧”、“新的不新”，培养了学生不断索取知识的能力，提高了教学效 率。
    三、抓知识间的内在联系，组建学生的认知结构。
    系统性、逻辑性是数学的主要特征之一。数学本身的知识间的内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤 立的，而是一个结构严密的整体。前面多次强调，我们已有了一个较好的知识结构，这就要求我们时时从整体 结构中，研究每一局部知识在结构中的地位、作用及其之间的内在联系，挖掘它们中间潜在的智力与逻辑关系 。
    数学教学主要是思维活动的教学，只有根据学生的认知特点，引导学生按照思维过程的规律进行思维活动 ，才能提高学生的思维能力。小学数学教学主要培养学生的逻辑推理能力。为此，教学应从较好的知识结构出 发，把教学的重点放在引导学生分析数量关系上，依据知识之间的逻辑关系和迁移条件，引导学生抓住旧知识 与新知识的连接点，抓住知识的生长点，抓住逻辑推理的新起点。这样就自然地把新的知识与已有的知识科学 地联系起来。新的知识一经建立，便会纳入到学生原有的认知结构中去，建成新的知识系统。
    知识间的逻辑关系和迁移条件，大致分为两个方面：
    一是新旧知识含有共同的因素；二是原有知识概括性强。
    以这两方面为依据，在数学教学中不断地深化对所学内容的理解，有目的、有步骤地逐步提高要求，逐步 提高学生的认识水平、学习能力。这一过程，实际上就是学生循序渐进地学习知识的过程。这种循序渐进就是 知识的内在逻辑与学生认知特点的有机结合，就是在深化旧知识中进行逻辑推理的过程，旧与新的连接过程， 也就是新知识生长的过程、知识和技能迁移的过程、逻辑推理的延伸发展的过程，以达到学生将新知识逐渐地 协调地纳入已有认知结构中，建成新的知识系统。
    例如：根据上述指导思想，我在教学“分数知识”时，是这样进行逻辑推理的：
    ５天做４８０个零件，平均每天做多少个零件？
    ４８０÷５＝９６（个） ９６×２
    一天做９６个 ９６×３
    二天做２个９６
    ……
    （附图 {图}）
    一天完成５份里的１份
    二天完成５份里的２份
    ５份里的１份是９６个，也就是４８０个的１／５是９６个，
    算式：４８０×（１／５）＝９６ ４８０×（２／５）……
    那么，为什么４８０先要与分母约分后再乘以分子的１、２……的道理自然就清楚了。
    接着与工程问题知识联系推导：
    ５天做４８０个，平均每天做多少？
    改成：一批零件，每天做（１／５），几天完成？
    １÷（１／５）＝５（天），看“１”里有几个１／５就用几天。
    这样在教学中，抓知识之间的逻辑关系，不断组建学生的认知结构，学生在学习中主动、积极，在学习知 识的过程中逻辑推理能力、知识技能的迁移能力得到明显提高。
    通过训练巩固和熟练学生的知识和技能，培养和提高学生的
    数学能力
    数学的高度抽象性和严密逻辑性，决定了数学这门学科在训练学生思维，培养学生数学能力方面有着特殊 的作用。
    数学能力要通过各种训练才能逐步形成。没有训练，就不可能有能力。
    那么，什么是训练呢？
    我认为，训练不仅是知识的再现，更重要的是旧中有新，这个“新”包含了新知识、新认识、新能力…… ，通过训练使学生在认识上有新的提高。因此，训练是巩固和熟练学生的知识和技能，培养和提高学生的数学 能力的重要手段。下面从两个方面说明我的一点看法
    一、训练培养学生的数学能力。
    培养学生的数学能力是我们教学的主要目的。通过应用题的教学培养学生的数学能力是很有利的。主要可 以培养学生掌握数学问题结构的能力；逻辑思维能力；思维的灵活性和创造性；概括能力。
    （一）训练有利于学生掌握数学问题结构的能力。
    什么叫数学问题结构？通常人们在解答一个问题之前必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已 知条件和要求，这就要进行分析、综合，研究条件之间的关系，条件与问题之间的关系，然后把这些问题综合 成一个整体，抓住问题中的具有本质意义的那些关系，这就是抓住了数学问题的结构。“能力强的学生拿到一 道数学题时，一眼就看到问题的结构，就能把已知条件和问题联系起来。”“而数学能力平常的学生遇到一类 新问题时，一般说来他们只是感知问题孤立的数学成分，并不理解这个问题。对于平常的学生来说特别重要的 是要能通过分析和综合过程，把问题的各种成分联系起来。”（克鲁切茨基《中小学数学能力心理学》第２５ ２、２５４页）我在教一步应用题时，就着重抓住了数学问题结构的训练，如画线段图的训练；补充问题与条 件的训练；题意不变，叙述方法改变的训练；自编应用题的训练；根据问题说出所需条件的训练；对比训练等 。在讲两步应用题时，重点上了两步应用题的“结构课”，同时进行变直接条件为间接条件，变换问题，让学 生扩题、缩题、拆题，看问题添条件等五个方面的训练。讲多步复合应用题时，又进行了多步应用题的“发散 思维课”及相应的各种训练。通过一系列的教学和训练，使每个学生掌握了分析、研究应用题结构的能力，取 得了明显的效果。
    （二）训练有利于促进学生逻辑思维能力的发展。
    训练一般是从学生原有旧知识的一点出发，在训练过程中把学生放在主体的位置上，在教师适当的点拨下 ，积极主动地学习，这样促使学生在训练中肯于思考问题，也善于思考问题。“肯于”也可以说是乐于；“善 于”也可以说是思路顺畅灵活，有较好的思维品质。而这其中的核心是使逻辑思维能力得到发展。
    所谓逻辑思维，概括地讲，是在逻辑规则的控制下，从一定的前提出发，找出有联系的依据，循序渐进， 步步为营，连续推导。
    由于小学数学知识之间如链条一样连接着，本身就具有科学的逻辑关系。我们在训练中依据这关系，将本 来就有密切内在联系的知识有机沟通起来。这沟通的过程就是学生逻辑推理的过程。在这逻辑推理的过程中， 学生的认知结构不断地组建，逻辑推导的能力也就在学生增长知识的同时得以发展。
    如：在多位数加减运算中，由于学生对于数位、计数单位、进率有了较深的认识、理解，又因为多位数， 仍是以数位、计数单位、进率为依据出现的，所以多位数加减计算法则必定是相同数位对齐相加减，哪一位满 １０就向前一位进一；哪位不够减，就向前一位借一当１０，这是以最基本概念为核心，使其概念通过训练得 到运用、深化、发展，从而不断推导出与它有关的新知识，培养学生的逻辑思维能力。
    又如：在训练中，将有关旧知识不断联系，联系过程是从一点出发，不断向纵深发展进行逻辑推理过程， 在这过程中使新知识在知识链中得到反映。
    差的概念： 甲｜_______________________｜ 乙｜_______________________｜______________________｜
    倍的概念： 甲｜_______________________｜ 乙 ｜______________________｜______________________｜ 分数意义： 甲｜_______________________｜______________________｜ 乙 ｜______________________｜
    两个数比较，乙比甲多一些；
    两个数比较，乙比甲多一些，这多一些又正好是一个甲，出现乙是甲的两倍；
    两个数比较，乙是甲的一部分（２份里的一份），所以：乙是甲的１／２……。
    这些知识是在训练中通过有序的、有根有据的分析、推理中学到的，从中，学生的逻辑思维能力就会随之 发展。
    （三）训练有利于促进学生思维灵活性和创造性的发展。
    小学数学教学目的之一是培养学生创造能力，而创造思维是思维的一种特殊形式，它具有一般思维的共同 点，又有自身的特点。它可以使思维积极、主动发散、开拓，它可以克服思维的定势。创造思维是依靠有关事 物的启示，引起联想，从而实现认识的飞跃。数学中重要的基础知识适用性、概括性强，是创造的奠基石，数 学知识严密的逻辑关系，是创造的条件，训练则是创造的途径。
    我们通过训练唤起学生对旧知识的回忆，促进对原有知识的沟通联系，调整学生头脑中原有知识的逻辑关 系，借以开阔学生思路，促使学生思维向多向发散，促进学生创造思维的发展。
    如，通过训练联系旧知识，扩展思维，找到解题的多种方法。
    丰富的知识，扎实的基础，思维的迅速是训练的前提（思维迅速来自对基础知识的掌握）。
    甲是乙的４倍。通过从不同的联想得到：
    甲比乙多３倍。
    乙是甲的１／４。
    乙比甲少３／４。
    甲乙之和是乙的５倍。
    甲：乙＝４：１
    乙：甲＝１：４
    甲占甲乙之和的４／５。
    乙占甲乙之和的１／５。
    ……
    在上面联想的训练基础上，出示下面的题。
    甲、乙、丙三位同学种树，种的棵数比是２：３：４，甲种１０棵，他们一共种多少棵？
    可以这样解答：
    １．（１０÷２）×（２＋３＋４）＝５×９＝４５
    ２．１０×３／２＋１０×４／２＋１０＝４５
    ３．２＋３＋４＝９ １０÷２／９＝４５
    ……
    由于进行前边的训练，学生的思路由一个方向可以转向另一个方向，就可以找到多种解法，从而培养学生 思维的广阔性、灵活性、创造性。
    （四）训练有利于培养学生的概括能力。
    小学数学教学大纲中明确指出要提高学生的概括能力，数学知识本身就是抽象概括的产物。如，小学生初 学具体数１、２、３、４……，到认识较为抽象的“自然数”的概念，再延伸到“用字母表示数”，随着知识 的不断扩展，学生抽象概括的水平也在逐级升高。因此在教学中要注意引导学生由浅入深、由低级到高级进行 抽象概括，从而不断地培养和提高学生的抽象概括能力。
    在日常教学活动中，人们一般比较重视一堂课的内容，或通过对一个法则的推理建立过程来进行概括能力 的培养。如，学习两位数乘法法则时，教师努力运用各种教学手段，通过一节课或几节课，使学生在掌握其方 法的同时逐步引导学生将法则概括出来。这种做法当然很好，但我们认为要完成培养和提高学生概括能力的任 务，仅靠一个法则的建立、一个知识的掌握是远远不够的，还需要在将知识结构转化为学生认知结构的同时， 在对知识系统整理的同时，进行抽象概括，使学生的知识由薄到厚，再由厚到薄，即：厚积薄出。这样，学生 的认知结构纲目才清楚、主次才分明，学生的抽象概括能力才能在其中得到提高。
    抽象概括能力的培养，一般分为三个大层次：在知识的建立中初步培养；在知识的系统联系中进一步培养 ；在知识的深化中加深培养。使学生在不断进行概括中学习，知识在不断概括中联系，又在不断概括中深化。 从而在教学的全过程中，在抓住知识的共同因素、最本质的东西中，培养和提高学生的抽象概括能力。
    下面就一节课为例来阐述我的认识。（分七个层次）
    求和、求剩余一组应用题训练。
    求差、求比一个数多几的数，求比一个数少几的数的一组应用题训练。
    加减五种应用题训练。
    “等分除”、“包含除”应用题训练。
    “求几个相同加数的和”、“等分除”、“包含除”三种应用题训练。
    有关“倍”的三种应用题训练。
    １１种一步应用题训练。（按知识分为四大块进行）
    在此基础上进行以下训练。
    一步应用题训练课
    １．图
    （附图 {图}）
    （１）这２０个点子从颜色上可以分成哪两部分？根据整体与部分的关系编一组题。 求和： 求剩余： ５＋１５＝２０（个） ２０－５＝１５（个） ２０－１５＝５（个）
    （２）这两部分数量还有什么关系？编题： 求较大数： 求较小数： ５＋１０＝１５（个） １５－１０＝５（个）
    求差：
    １５－５＝１０（个）
    （３）还可以怎样看这幅图？（手势，横着指一排５个数一数，有４排）横着看每排有５个点子，有４排 。
    （４）根据这组数，编题。 求几个几： 求１份数： ５×４＝２０（个） ２０÷４＝５（个）
    求份数：
    ２０÷５＝４（排）
    （５）如果把５个红点子做为标准，通过比较，还可以怎样编题？ 求几倍数： 求１倍数： ５×３＝１５（个） １５÷３＝５（个）
    求倍数：
    １５÷５＝３
    小结：根据这幅图我们编出了１１种简单应用题．这１１种应用题可以归为哪几种数量关系？
    这１１种应用题可以归为：部分整体关系、相差关系、份总关系和倍数关系四种数量关系。
    ２．出示线段图。
    （附图 {图}）
    这是以概念为核心组成的四块： 和的概念 求和 差
    求剩余 同样多概念 大数
    小数
    份数 倍数 乘法的意义 一份数 倍的概念 一倍数
    几份数 几倍数
    ３．比较。
    （１）横着看 相同点 不同点
    求和、求剩余 数量关系相同 方法不同（＋、－）
    求较大数、较小数、差 数量关系相同 方法不同（＋、－）
    求几个几、１份数、份数 数量关系相同 方法不同（×、÷）
    求几倍数、１倍数、倍数 数量关系相同 方法不同（×、÷）
    （２）竖着看第一、二组题
    ①求和为什么用加法？
    因为求和就是把两部分合并起来，所以用加法计算；
    ②求较大数为什么也用加法？
    因为较大数是由两部分合并起来的，一部分是同样多的部分，另一部分是差。求较大数就是把两部分合并 起来，所以也用加法计算。
    ③求和、求较大数的共同点是什么？
    它们都是把两部分合并起来，所以都用加法计算。
    ④求剩余、求较小数和差的共同点是什么？
    它们都是求部分数，所以都用减法计算。
    ⑤加减应用题为什么有两组数量关系？
    因为较大数、较小数和差是两个量比较出来的。所以虽然与求和、求剩余应用题的计算方法相同，都是加 减法，但数量关系却是不同的两种。
    再看第三、四组题：
    ①求几个几的总数用乘法计算，为什么求几倍数也用乘法计算？
    因为几倍数就是几份，３倍就是３份。１份是５３份就是３个５，求３个５的总数用乘法计算。
    ②求几个几的总数和求几倍数的共同点是什么？
    ③求１份数和１倍数为什么都用除法？
    ④求份数和倍数又为什么都用除法？
    ⑤求１份数、份数和１倍数、倍数的共同点是什么？
    ⑥乘除法应用题为什么也有两组数量关系？
    因为“倍”是通过比较得到的，所以虽然都用乘除法计算，但数量关系却是两种。
    ⑦观察部分整体关系的线段图，如果每部分都同样多，就和哪种关系的线段图一样？
    ⑧通过观察比较，部分整体关系和份总关系也是联系的，当每部分都同样多时，就是份总关系了，因此份 总关系是部分整体关系中的特例。
    ⑨观察相差关系的线段图，如果差与较小数成倍数关系，就和哪种关系的线段图相同？
    （１０）通过观察比较，倍数关系与相差关系是有联系的，倍数关系是相差关系中的特例。
    （注：这一层的目的是通过比较，首先从方法上把知识合并起来，前两组都是加减法，实质是“和”的概 念，但由于出现了两个量的比较，被分成了两类。同样后两组用乘除方法统一起来，归为以“份”概念为核心 的两类应用题。同时通过比较，又进一步抓住了第一、二组和第三、四组知识的共同因素，进行联系和概括。 这样，学生在加深概念的理解中使知识由厚到薄，其认知结构的纲目，主次更加清晰。）
    ４．编题。
    根据两个数的关系编加减法应用题和乘除法应用题（比如．１２和４）。
    （注：学生在编题过程中进一步消化理解，抽象概括，达到厚积薄出，便于理解和记忆。）
    总结，通过这节课的训练可以清楚地看到：１１种简单应用题可以归纳为四种数量关系，在四种数量关系 中，部分整体关系与相差关系是以“和”的概念为核心，以部分整体关系为主线，份总关系与倍数关系是以“ 份”的概念为核心，以份总关系为主线，所不同的是相差关系和倍数关系是在比较中得到的。
    在训练中培养和提高学生的抽象概括能力要力求体现以下几点：
    １．引导学生在亲身参加抽象概括的过程中逐步培养和提高他们的概括能力。
    ２．随着知识的增长和扩展，在概念的同化过程中培养抽象概括能力，使学生已有的知识不断地产生新的 飞跃。
    ３．抽象概括能力的培养和提高需要经过多次反复，多层次多角度的训练。
    ４．在抽象概括中学习知识，在抽象概括中培养学习知识的能力，使之会概括地学习。
    ５．学生在抽象概括中获得的认知结构，不仅能形成较好的认知网络，而且能主动抓住其网络中的纲，以 纲带目。
    ６．没有抽象概括就没有概念，抽象概括是形成概念的基础，而概念又是知识结构和认知结构中的纲。没 有纲，结构就没有力量，就没有存在的价值。因此形成好的结构，离不开抽象概括，这是培养学生掌握数学问 题结构能力不可缺少的一个过程。
    二、训练是巩固和熟练学生的知识和技能的好手段。
    通过训练巩固和熟练学生的知识和技能是小学数学教学的主要任务之一，我从“训练有利于促进知识和技 能的迁移，有利于知识与技能的巩固和熟练，有利于促进不同水平学生的提高”三个方面来说说自己的认识。
    （一）训练有利于促进知识和技能的迁移。
    数学教学研究的主要问题之一，是如何提高学生的数学能力和使学生具有会自己学习数学知识的本领。研 究这个问题，就离不开研究学习的迁移问题。迁移得当，学生不仅获取知识，同时也提高了学习能力。
    什么是迁移，简单地说，学生学到的知识与技能，能对新的学习产生影响，这种影响就是迁移。迁移可能 是积极的，也可能是消极的，消极就是干扰。一般说迁移，是指正迁移，起积极和促进作用的。
    迁移得当，需要教师从知识的整体结构来掌握每一局部知识，从中抓住知识的连接点，在新旧知识的生长 点上来开拓学生思维。在这过程中，必须使教师的主导和学生的主体作用协调配合。教师要引导学生自己架起 由已有知识到新知识的桥梁，从而促进学生自己过桥进行迁移。这就需要使学生有扎实的基础知识，并使之有 一定的深度、广度，使迁移具备足够的知识基础、思维条件，从而促使学生自然迁移。怎样才能达到这样的程 度呢？我是通过训练促进迁移的。
    如，数的认识：
    学习１０的认识以后，通过对１０的认识训练学习后续知识。
    个位上是３．表示３个一，是３；……９．个位上是９，表示９个一，是９；９＋１，个位上最多放９根 小棒．表示９个一，是９．９＋１是１０个一，是１个十．十位写“１”，个位写“０”，是１０。
    个位０表示什么？（个位上０表示个位没有）
    迁移：个位再放一根？（个位０改成１，十位没变）是多少？（１１，１２，…，２０，…，１００…）
    教师通过对原有知识的再现，在新旧知识点上提出恰到好处的问题，促使学生自然迁移，在迁移中学到有 关知识。
    这“再现”的过程，目的是为进而退，退中悟理。
    提出这个问题的目的是以旧引新，在新旧知识点上迁移。这一全过程，是通过训练进行的。在训练中，使 旧知识延伸，使新知识自然与旧知识连接起来，自然觉得新的不新，寓新于旧，这是否是训练的作用？
    我们在教学中，依据知识之间的逻辑关系进行训练，引导学生进行迁移。
    如，除法－－分数－－比－－按比例分配－－比例等有关的知识，在知识结构中是有紧密的内在联系的。 旧知识不断深化，就为迁移创造了条件，通过迁移学到有关新知识。教学的顺序大体如下：
    先学除法。
    例，把４００米的一条路，平均分成４份，每份是多少米？
    （附图 {图}）
    ４００÷４＝１００（米）
    答：每份是１００米。
    这是等分除应用题。在这个知识的基础上，我们继续深化知识。借助线段图，强调把这条路（单位“１” ）平均分，如图：
    （附图 {图}）
    乙是单位“１”，把单位“１”平均分成４份，其中３份相当于甲。
    也可以说，乙是４份，甲是３份。甲、乙共７份。
    自然迁移到：
    甲：乙＝３：４；甲是乙的３／４。
    乙：甲＝４：３；乙是甲的４／３。
    乙：总数＝４：７；乙是总数的４／７。
    甲：总数＝３：７；甲是总数的３／７
    ……
    这样从除法知识出发，逐步深化知识，逐步为学习后续知识创造条件。把有着紧密的内在联系的知识，通 过训练，纳入学生的认知结构中去。这样掌握的知识，可以举一反三，触类旁通。例．甲、乙两车从两地相向 而行，甲６０千米／小时，乙的速度是甲的４／５。相遇时，甲比乙多行了１５０千米．两地间的距离是多少 千米？
    一般的解法：
    根据甲的速度，乙速是甲速的４／５。求出乙速度是６０×４／５＝４８（千米）
    １５０÷（６０－４８）×（６０＋４８）＝１３５０（千米）
    答：两地间的距离是１３５０千米。
    如果这样分析：
    乙速是甲速的４／５，乙：甲＝４：５，速度一定，时间和路程是正比例关系，从而可以推导出，乙走全 路的４／９，甲走全路的５／９，甲比乙多走全路的５／９－４／９＝１／９，这１／９与１５０千米对应， 可以求出全路长，１５０÷１／９＝１３５０（千米）。从上面这道题的分析我们可以清楚地看到，抓住知识 的内在联系，对旧知识的深入理解，就为迁移奠定了知识基础，创造了学习后续知识的思维条件。这样，教学 的过程，就是把旧知识与新知识连接起来的过程，它是通过训练进行的。
    知识、技能在教学中运用得越广泛，迁移的可能性越大，这“广泛”是需要通过训练来实现的。通过训练 使有关知识系统了，相互联系紧密，逻辑关系清楚。训练促进了知识的迁移，迁移过程增长了知识，提高了能 力。
    （二）训练有利于知识与技能的巩固和熟练。
    训练的显著特点之一就是使学生在教师的引导下将已有的知识能按一定规律再现，这再现的过程就把学过 的知识“运动起来”了。一般情况下训练是从教材的整体知识结构出发，把一个知识做为起点（起点较低）， 有时使知识逐步向纵深发展，在串联过程中运动；有时则从一点起，向横向发展，使知识成群、成块联网。在 这过程中，学生又一次理解、认识、感受、巩固、记忆。这样避免了学生成为容器，只往头脑里零散地装知识 ，忘了拿出来复习，到用时又不知从哪儿去找的现象。
    这种在训练中使旧知识得到不断巩固、发展，符合教学的巩固性原则，使学生的学习呈循序渐进、螺旋上 升的趋势。
    如，两步应用题的认识，就是在简单应用题的各种形式训练中进行的，也就是在训练中通过不同形式、不 同角度、不同深度的再现，巩固了简单应用题，认识了两步应用题的结构特点。
    ①补充条件：______________，小牛６头，一共多少头？
    ②给条件，提问题：大牛２０头，小牛６头，_________？
    ③给问题，补条件：_________，_________，一共多少头牛？
    ④选择条件和问题。
    ⑤看式子编题：２０头＋６头＝２６头
    ⑥给两个条件，说出两个条件有什么关系？
    ……
    ２０＋６＝２６ 可见两个条件的关系是：
    ２０比６多１４
    ６比２０少１４
    ⑦根据上述关系组编应用题 ２０－１４＝６
    ６＋１４＝２０
    ……
    ⑧在问题不变情况下，变条件与条件关系。
    （从认识两步应用题结构开始）
    前面过程是旧知识的再现（或旧知识的运动）。从一个角度看，巩固了旧知识，从另一角度看，在联系发 展中认识新知识。所以说训练有利于巩固旧知识，这是训练的又一作用。
    （三）训练有利于促进不同水平学生的提高。
    在课堂上，我们面对的是不同层次的学生，接受能力不同，知识基础不同，思维方式不同……
    怎样使课堂上的每一位学生不同程度地都得到提高和发展，使每一位学生都融进整个课堂的学习氛围中去 ，这是每一位教师应该研究的问题。在这方面处理得当，全班学生学习效益必定提高。我认为，训练是使不同 层次学生得到提高的好办法。
    在训练中，一般从最基础的知识出发，不断引出与之有关的知识，在这当中，教师要做到心中有数，十分 清楚每一位学生对基础知识的掌握程度如何，从而在训练的过程中结合每一位学生的实际，充分发挥群体效能 ，在相互启发、诱导、补充中，使不明白的学生通过其他学生的分析，得到弥补，使不全面、不系统、零散的 知识在相互诱发中得以启迪，促使思维在不断加深理解知识的过程中“系统化”、“条理化”。
    由于有些训练属于“保底不封顶”，所谓“保底”是指保证基础知识人人过关，使绝大多数学生牢固掌握 。尔后，对基础知识进一步从不同角度、不同深度加以认识，这样又进一步保证基础知识的质量。“不封顶” ，则是在这基础上，不同学生知识掌握的程度就不同了，有的是自己发展的。这是好学生，有的是在原有知识 中发展得更深、更广些，这是上等生；有的是在前两者基础上得以启示学到的，这也是可以的；有的在前三者 的消化过程中，慢慢才悟出来；有的对发展后的知识还不太清楚，但必定听到了，而且也听懂了一些。这样， 在群体功能充分发挥中，使不同层次的学生有不同程度的提高。
    这样的训练，学生学习得主动、积极，使全班学生既拉开了档次，又能相互启示。训练有利于促进每一位 学生智力的发展。