也谈立体几何教学与平面几何教学的统一性

关键词：相似命题，类比思维，统一性

Keyword: similar proposition, analogy thought and unity

摘要：立体几何与平面几何的教学应统一起来，不仅仅是因为立体几何中的许多问题需要转化成平面几何中的问题来完成，更重要的立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立。但是，有些命题在平面中成立，在空间中不成立。应注意区别。同时，立体几何与平面几何中有许多相似的命题，通过这些相似命题的研究整理，我们可以认识立体几何教学与平面几何教学的统一性，也可以认识数学思维中的类比思维，同时，获得数学的美感。

Make a summary , : the teaching of plane geometry and three-dimensional geometry should unify , is not only because of a lot of problem needs in three-dimensional geometry change the problem in plane geometry to come to method and the way of thinking of complete, more important three-dimensional geometry and plane geometry research problem is similar, also a lot of theorems set up in plane, also set up in space. however, some propositions set up in plane, do not set up in space. should notice difference. at the same time have a lot of similar propositions in three-dimensional geometry and plane geometry, arrange through the research of these similar propositions, we may know the unity of plane geometry teaching and three-dimensional geometry teaching, may also know the analogy thought in mathematics thought, at the same time, get the sense of beauty of mathematics.  

                                 正文

立体几何与平面几何的教学应统一起来，不仅仅是因为立体几何中的许多问题需要转化成平面几何中的问题来完成，更重要的立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立。诸如：（1）直线平行的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行。在平面中成立，在空间中也成立；（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。但是，有些命题在平面中成立，在空间中不成立。仅举一例：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。在平面中成立，在空间中不成立。原因不需赘述。教师在立体几何的教学当中，应加以区别。同时，立体几何与平面几何中有许多相似的命题，笔者在多年的教学中整理了一些，现列举如下：

1，  平面中，周长相等的正三角形，正方形，圆的面积为 ， ， ，则 < < ；

空间中，全面积相等的正四面体，正方体，球的体积为 ， ， ，则 < < 。这两个命题中，周长在空间中对应全面积，正三角形对应正四面体，正方形对应正方体，圆对应球体。换言之，平面中，周长一定时，越接近圆形的图形面积最大；空间中，全面积一定时，越接近球形的空间图形，体积越大。

2，平面中，面积相等的正三角形，正方形，圆的周长为 ， ， ，则 > >

空间中，体积相等的正四面体，正方体，球的表面积为 ， ， ，则 > > 。换言之，平面中，面积一定时，越接近圆的图形周长最小；空间中，体积一定时，越接近球的空间图形，表面积越小。这也反映了宇宙中星体为什么大多以球体或接近球体的形式存在，因为球体的表面积最小，表面积越小越稳定；动物世界中，弱小动物遇到敌人时，缩成一团，是出于本能，将受攻击的区域减少到最小，因为球形的表面积最小。

3，  平面中，不共线的三点可确定一个圆；空间中，不共面的四点可确定一个球。

4，  平面中，过平面外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外的一条平行直线有且只有一个平面与已知平面平行。

5，  平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；空间中，过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

6，平面中的勾股定理也可推广到空间：（1）长方体的体对角线长的平方等于共顶点的三条棱长的平方和；（2）设三棱锥A—BCD的三个侧面两两互相垂直，则有等式

+ + =   恒成立。

7，平面中，等边ΔABC内任一点到各边的距离之和为定值（等边ΔABC的高）；等腰ΔABC底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。

空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。

8，圆的周长公式： ；球的表面积公式： ；

圆的面积公式： ；球的体积公式： 。其中R表示半径，

的指数1，2以及系数 与维数之间存在着一种对应。因为平面是二维的，空间是三维的。

9，平面中，三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于对应边的平方比；

空间中，棱锥被平行于它低面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于对应边的立方比。

10，平面中，三角形的面积公式： ；空间中有两个相似命题：（1）棱锥的体积公式； 。其中， 分别表示三角形的边，棱锥的低面积， 表示高。（2）三棱锥的体积也可按此公式计算： ，其中， 为三棱锥一个侧面的面积， 为该侧面与所对的侧棱间的距离。

11，平面中，梯形的面积公式： ；空间中，低面是梯形的直棱住的体积公式： ，其中， 表示两个平行侧面的面积， 表示这两个侧面间的距离。

笔者认为，立体几何的教学与平面几何的不能割裂开来，应统一起来，以上这些相似的命题，教材中没有突出体现，教师在教学过程中应注意研究整理，研究它的思维过程体现了逻辑思维中的类比思维，类比是进行合情推理的一种重要方法。在数学中，类比是发现概念﹑方法﹑定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。并将此意识渗透给学生，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物，这也从一个侧面，体现了数学的结构美﹑对称美﹑和谐美。如果学生能体会到数学的美感，那么他学习数学的兴趣就会越来越浓，热情会越来越高。正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美。”

作者简介：任杨敏（1973—），男，陕西澄城人，西安唐华四棉中学教师。

工作单位：西安唐华四棉中学，陕西，西安，邮编 ：710038