巧用一题多解与多变  提高整体复习效果
——解一道中考题得到的启示

[作者简介]蔡景来，男，中学数学一级教师，1966年12月生，  于广东省陆丰市林启恩纪念中学工作。
地址：广东省陆丰市林启恩纪念中学   邮编：516500
电话：0660—8821351
[摘要]
本文通过不同角度地分析一道中考题，得出不同的解法和解题依据，既系统地复习了某章节的基础知识，又开拓了解题思路和激发了思维火花。再通过一题多变，更有效地培养了学生探索问题和解决问题的能力。同时提炼出最佳解法、优化解题思路。从而达到减轻学生学业负担，提高整体复习效果的目的。
[关键词]一题多解   一题多变
[正文]
数学的复习旨在全面系统地巩固基础知识，进一步提高学生的分析能力和解题能力.依靠“炒剩饭”和“题海战术”，学生辛苦又厌烦，复习效果又不理想.若巧用典型题的多解与多变，加深对各章节基础知识的理解，又开拓学生思路，有效地培养学生的解题能力，提高学生的数学素质，从而提高整体教学效果.这是例1（98年广东中考题）的多解与多变得到的启示.
例1（98年广东中考题）：己知两个同
心圆（如图1），其中大圆半径为7，小
圆半径为5，大圆的弦AD与小圆交于
点B、C，则AB•BD的值是    .             图1
分析：若要从“相交弦定理”入手，就必须过点B作大圆的
直径.                                       
解法一：如图1，过点B作大圆直径EF，交小圆于点G，由相交弦定理得AB•BD=BE•BF=（7-5）（7+5）=24.
分析：若要应用“割线定理”，应过点A作大圆的直径.
解法二：如图2，过点A作大圆的直
径AE，交小圆于F、G.由割线定理有
AB•AC=AF•AG=（7-5）（7+5）
=24；由九年制义务教育教材《几何》           图2
第三册77页例2可知AB=CD，所以
AB•BD=AB•AC=24.
分析：若要应用“切割线定理”，就必须
过点A作小圆的切线.                      图3
解法三：如图3，过点A作小圆的切线AE，切点为E，连结OE、OA， 则OE⊥AE，AB•AC=AE2 =OA2 -OE2 =24；由解法二可知AB•BD=AB•AC，故AB•BD=24.
此题考查了学生对“和圆有关的比例线段”这节知识的灵活应用，是一道难得的典型题.上文利用不同的解题依据得到不同的解法，既系统地复习了“和圆有关的比例线段”这一节的全部内容——相交弦定理、割线定理、切割线定理，又培养了学生分析、探索问题的能力.其中解法一应用相交弦定理而直接得出AB• BD的值，方法较为简便.对于一道题的分析，因考虑的角度不同，而得到不同的解法及解题依据，这是几何题一题多证（解）法的特点，从而对基
础知识有效地复习，激发思维火花，培养了学生探索问题的能力和解决问题的能力.在几何复习课中，精选精讲例题，以题带知识点和解题技巧，既全面复习了某一章节的内容，又提高了解题能力.此题若进行一些变式，更能起到事半功倍的教学效果.
变式一：如图4，已知两个同心圆
中，大圆的弦AD交小圆于点B、C，
且AB•BD=8，则圆环的面积为    .    
变式二：如图5，两个以O为圆心         图4
的同心圆中，AB 切大圆于B，AC切
小圆于C，交大圆于D、E，AB=12，
AO=15，AD=8，求两圆的半径.
下面再举两例供读者参考.                图5
例2：如图6，已知AB是⊙O的切
线,切点为B,OA交⊙O于D,连结BD,
BC⊥AO于点C,求证:∠1=∠2.
    分析:利用条件(AB是⊙O的切线)的方        图6
法有多种,若要利用“弦切角定理”证明此题,就必须作出  所对的圆周角，作法有如下三种：
证法一：如图6，延长AO交⊙O于点E，连结BE，则∠2=∠E，∠DBE=90°，又∠1+∠BDE=90°，∠E+∠BDE=90°，所以∠1=∠E，
故∠1=∠2.
    证法二：如图7，延长BC交⊙O于           
点E,连结ED，由弦切角 定理 可得∠2=        图7
∠E；又由垂径直定理可知∠1=∠E，故∠1=∠2.
    证法三：如图8，连结BO并延长
BO，交⊙O于点E，连结DE，由弦
切角定理可得∠2=∠E=∠ODE；又
∠ODE+∠CDB=90°，∠1+∠CDB          图8
=90°，所以∠1=∠ODE，从而可得∠1=∠2.
分析：若要使条件（AB是⊙O的切线）满足“切线的性质定理”，就必须过切点B作⊙O的半径.
证法四：如图9，连结OB，由切线的
性质定理可得OB⊥AB， 即∠OBC +
∠ABC = 90°，又∠OBC+∠AOB
=90°,则∠ABC=∠AOB.又因为∠2      图9
=∠AOB，所以∠2=∠ABC，即∠1=∠2.
分析：利用条件（AB是⊙O的切线），若从“切线长定理”入手，则必须再作一条切线与切线AB相交.
证法五：如图10，过点D作⊙O的切
线DE，交AB于点E，则∠2=∠BDE，
DE⊥OA，因为BC⊥OA，所以CB//DE，
因而可得∠1=∠BDE=∠2.                  图10
此题的三种分析及五种证法，既有效地复习了“切线有关的性质”——切线的性质定理、弦切角定理、切线长定理，又提高了学生应用切线性质的能力，培养了学生思维的广阔性和灵活性.同时，通过多种解法的比较，提炼出最佳
解法，从而达到优化学生解题思路的目的.再通过如下变式，更进一步提高了整体复习效果.
变式一：如图11，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相
垂直，垂足为D，求证：
AC平分∠DAB.
变式二：如图12，已知BC与⊙O        
相切于点B，CE垂直直径AF于点E，        图11
交弦AB于D，求证：CD=CB.
变式三：如图13，ABC内 接
 于⊙O，AD 平分∠BAC，交⊙O于
D,过D作⊙O的切线EF，求证：
EF//BC.                                  图12
例3：如图14，在⊙O中，
弦AB=AC，求证：直径AD是
∠BAC的平分线.
分析：若把条件“弦AB=AC”看成
一般的线段相等，可利用全等三角形进行证明，     图13 
证法有以下两种：
证法一：如图14，连结OB、OC，由
AB=AC，OB=OC，OA=OA，可证得
AOB≌AOC（SSS），故直径AD
是∠BAC的平分线.                         图14
证法二：如图15，连结BD、CD，
由AD是⊙O的直径可知∠B=∠C
=Rt∠（直径所对的圆周角是直角），又
AB=AC，AD=AD，可证得RtABD       图15
≌RtACD（HL）,故直径AD是∠BAC的平分线.
分析：若把条件“弦AB=AC”看成是圆
特定的线段相等，可结合圆有关的性质方面
考虑，证法有以下三种：
证法三：如图16，作OE⊥AB于      
E，OF⊥AC于F，由弦AB=AC得OE=OF      图16
（在同圆中，相等的弦所对的弦心距相等），故AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）.
证法四：如图17，连结BC，由弦BA
=AC得=，又AD是⊙O的直径，可
证得AD垂直平分BC（垂径定理的推论），
故AD平分∠BAC.                            图17
证法五：如图18，由弦AB=AC得=（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），从而可得= ，
故∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等），
即AD平分∠BAC.
此题的五种证法中，有效地复习了“三      图18
角形全等的判定方法”、“角平分线判定定理”、“圆的有关性质”这三大节的内容，同时又培养了学生数学思想、数学方法和数学能力.在此题的证法中，证法三将角平分线的判定与圆的四量关系定理有效地结合，方法最好，因此这种方法应当作基本方法掌握.此题还可一题多变，在变化的各种图形中，基本证法不变，见下面各题：
变式一：如图19，在⊙O中，
弦AB=CD，BA和DC的延长线相交
于点P，求证：PO平分∠BPD.                图19
    变式二：如图20，弦AB和CD相交
于⊙O内一点P，且AB=CD，求证：
过P点的直径与AB、CD所成的角相等.
以上是本人的一点浅见，意在抛砖          
引玉.在复习课中，只要我们精心编选、       图20
细心设计出一些典型例题，深入剖析，举一反三 .对减轻学生课业负担，培养学生解题能力和应变能力，提高复习效果，都有深远的意义.
[参考文献]
1、张菊英，浅谈平几复习中的选题，中学数学月刊（江苏），1997年2月。
2、蔡上鹤等，几何第三册教案，人民教育出版社，1998年3月。
3、陈仁胜，运用解题反思，优化数学思维能力，数学通报（北京）2002年5月。
4、汪洋，思维发散，多样解题，数学通报（北京）2003年9月。