第十二节近似数与有效数字

    [知识要点表解]

不同的精确度用四舍五入法取同一个数的近似值，就有不

本课的知识要点如下表：

效数字

 

近似数的意义	精确度的意义	有效数字的意义	三者关系
用四舍五入的 方法求一个准 确数的近似值．	一般地，一个近 似数，四舍五入 到哪一位就说 此近似数精确 到哪一位．	一个近似数，从 左边第一个不 是零的数字起 到精确到数值 上所有的数字 都叫此数的有   效数字．	精确度决定近 似数的位数和 有效数字；精确 度或有效数字 个数，决定近似 数的有效数字．

     学习本课后，要能做到：给一个近似数，能说出它精确到哪一位，它有几个有

效数字；给一个数，能按照精确到哪一位或保留几位有效数字的要求，四舍五人

取近似数．

    [方法主线各析]

●学法建议

    本课重点是近似数、精确度和有效数字的意义，难点是由给出的近似数求其

精确度及有效数字，按给定的精确或有效数一个数的近似数．注意，在进行近似

数的计算时，一般进行加减运算时，中间过程应比要求的精确度多取一位；在乘

除运算时，中间过程应比要求的多取一个有效数字．

●释疑解难

1．近似数1．65与1．650有什么不同?能把近似数1．650写成1．65吗?

    答：近似数1．65与1．650的区别如下：

    (1)有效数字不同：1．65只有三个有数字，而1．650有四个有效数字．

 

    (2)精确度不同：1．65精确到百分位，1．650精确到干分位．

    由此可见，1．650比1．65的精确度高，故必须注意：近似数末尾“0”不能随便加上或去掉．2．同一个近似数的有效数字都是固定不变的吗?

    答：不是的．同一个近似数的有效数字因精确度的不同而不同，如2．1416精确到千分位是3．141，有四个有效数字：3、l、4、2；而精确到百分位则是3．14，有三个有数数字：3、1、4．3．精确到0．000001的近似数0．010100中有3个有效数字1、0、1吗?

    答：应有五个有效数字1、0、l、0、0．因为有效数字是从左边第一个不为零的数字，到最后一位四舍五人所得的数上的所有数字，“0”有三处位置：“前0”、“中0”、“后0”，“前0”不算，“中0”、“后0”不能丢，而且一个数的有效数字中不管有多少零或其它重复的数字，都要逐个写出．4．从近似数的观点看，近似数2．4万和24000这两个数的意义相同吗?

    答：不同．(1)精确度不同：2．4万精确到干位，而24000精确到个位．

    (2)有效数字不同：2．4万中有两个有效数字2和4，而24090中有五个有效数字2、4、0、0、0．●典型、题例例1下列各数是由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位?各有几个有效数字?

    (1)3．9450；  (2)3．945  (3)1．8亿；  (4)90万；

    (5)10．07000；  (6)0.05．

    〔解答〕：(1)精确到万分位，有五个有效数字9、4、5、0；

    (2)精确到干分位，有四个有效数字3、9、4、5；

    (3)精确到千万位，有两个有效数字1、8；

    (4)精确到万分位，有两个有效数字9、0； 

    (5)精确到十万分位，有七个有效数字1、0、0、7、0、0、0；

    (6)精确到百分位，有一个有效数字5．

说明：3．9450与3．945的精确度不一样；在(3)中它是四舍五入到千万位，这里的8是千万位而不是十分位；在(4)中，它是四舍五人到万位，这里的“0”是万位而不是个位；在(7)中，10．0700的有效数字是1、0、0、7、0、0、0而不是1、0、0、7，它精确到O．00001而10．07仅精确到O．01，两者的精确度不一样，有效数字不同，不能搞错．例2下列用科学记数法表示的由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?

    (1)7．56×102；(2)4．35×103；(3)2．7890×105．

    解：(1)7．56×10²＝756，精确到个位，有三个有效数字7、5、6；

    (2)4，35×10³＝4350，精确到十位，有三个有效数字4、3、5；

    (3)2．7890×10²＝278．90，精确到百分位，有五个有效数字2、7、8、9、0；

    (4)3．150×10⁵＝315000；精确到百位，有四个有效数字3、1、5、0．

    〔说明〕：

    (1)用科学记数法表示近似数的有效数字位数，只看“×”号前的部分，(3)中2．7890×10²，在“×”号前的数是2．7890有五个有效数字．

    (2)用科学记数法表示的近似数，问精确到哪一位，要看最右边的有效数字所在的位置是属哪一位，(3)中，2．7890×10²＝278．90最右边的数0是处于小数点后的百分位，故2．7890×10²精确到百分位；所以3．150×10²精确到百位．田3用四台五人法，按下列要求对原数按括号中的要求取近似值，并说出它的精确度(或有效数字)．

    (1)0．02035(保留两个有效数字)；

    (2)26014(精确到干位)；

    (3)302．4488(保留4个有效数字)；

    (4)6047(保留4个有效数字)．

    t解答](1)0．02035保留两个有效数字所得的近似值为0．020，它精确到

    干分位(或称精确到0．001)；

    (2)26014精确到干位所得的近似数值为2．6×10⁴，它保留了两个

    有效数字2、6；

    (3)302．4488保留4个有效数字所得的近似值是302．4，它精确到

    十分位(或称精确到0．1)；

    (4)6047保留两个有效数字所得的近似值6．0×10³，它精确到百

    位(或称精确到100)．

    〔说明〕题(1)中结果是0．020不能写成0．02，因为干分位上的0是表示近似值精确度的；题(3)中不能写成302．4488湾302．45出302．5；题(5)中不能写成6047＝6．0473×10³增6．05×10³≈6．1×10³．用四舍五入法把一个数截取到某一指定的数位时，必须考虑到这个数位的下一位数字，如果该数字大于或等于5，则把它和它后面的数字去掉后进l，只能一次性四舍五入．

    [能力层面训练]

●     知识掌握

●     1．用科学记数法表示下列各数且保留两位有效数字：

    (1)—704900  (2)0．0003851

2．下列说法正确的是(  )

    A、近似数25.0精确度与近似25一样；

    B．近似数25．0和近似数25的有效数字个数一样；

    C．近似数5千万和近似数5000万的精确度是一样的；

    D．3．14精确到百分位，有三个有效数字3、1、4．

3．用四舍五入法，取l.2945精确到百分位的近似值，得(

    A．1．29；B、1．290；C．1．3；D．1．30．

4．下列由四舍五人得到的各个近似值，分别精确到哪一位?各有几位有效数字?

    (1)0．618；

    (2)31

    (3)l千；

    (4)5干3百万．

5．用四舍五入法按要求取近似值．

  (1)0．0102(精确到千分位)；

  (2)3．496(精确到0．01)；

  (3)3．295(保留三个有效数字)．

●能力提高

6．由四舍五入得到的近似值是761，下列哪些数不可能是真值(

  A．760．91；  B.760．5；  C．761．34；  D．761．52．

7．保留三位有效数字是31．0的数是(

  A．31．13；  B．31．06；  C．30．96；  D．30．949

8．用四舍五入法把756080精确到十位的数是(

A． 7560；  B．7．5608×10⁵；  C．7．561×10⁵；  D．7．561×10²．

9．用四舍五入法对下列各数按括号要求取近似值

  (1)0．0035076(保留三个有效数字)；

  (2)49995(保留2个有效数字)；

  (3)7．095×10‘(保留三个有效数字)；

  (4)6．001(精确到十分位)；

  (5)39996(精确到个位)．

  (6)2．56万(精确到万位)；

●     延伸拓展

10．近似数x≈3.2，则x的取值范围是(      )

A、3.1<x<3.3        B、3.15<x<3.25

C、3.15≤x<3.25     D、3.15≤x<3.20